Álgebra Lineal I

Información de la asignatura

• Tipo: Formación Básica
• Créditos: 6 ECTS
• Curso: Primero
• Semestre: 1

Descripción

Introducción al álgebra lineal, espacios vectoriales, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Temario

Tema 1: Sistemas de ecuaciones lineales

Contenido por desarrollar…

Tema 2: Matrices

Definiciones y notación básica

Una matriz es un arreglo rectangular de números organizados en filas y columnas.

Notación de tamaño

Sea $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$. Entonces $A$ tiene $m$ filas y $n$ columnas.

Ejemplo: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 3}$ Esta matriz tiene 2 filas y 3 columnas.

Tipos de matrices según su forma

• Matriz columna: $A \in \mathbb{K}^{m \times 1}$

  Ejemplo: $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 1}$

• Matriz fila: $A \in \mathbb{K}^{1 \times n}$

  Ejemplo: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{1 \times 4}$

• Matriz cuadrada: $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ (mismo número de filas que columnas)

  Ejemplo: $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$

• Matriz de orden n: Matriz cuadrada $n \times n$

Matrices especiales

Matriz identidad de orden n ($I_n$): Matriz diagonal con todas las entradas de la diagonal principal iguales a 1.

$I_1 = (1), \quad I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \quad I_3 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

Matriz nula ($0_{m \times n}$): Matriz con todas sus entradas iguales a 0.

$0_{3 \times 3} = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

Matriz diagonal: Matriz de orden $n$ con todas las entradas fuera de la diagonal principal iguales a 0.

Notación: $\text{diag}(d_1, \ldots, d_n)$

Ejemplo: $\text{diag}(2, -5, 1, 6) = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 \\0 & -5 & 0 & 0 \\0 & 0& 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 6\end{pmatrix}$

Matriz triangular superior: Matriz de orden $n$ donde todos los elementos por debajo de la diagonal principal son 0.

Matriz triangular inferior: Matriz de orden $n$ donde todos los elementos por encima de la diagonal principal son 0.

Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matriz $A$ se denota $A^T$ y se obtiene intercambiando filas por columnas.

Definición por componentes: $(A^T)_{ij} = A_{ji}$

Ejemplo: Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$, entonces $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$

Matrices simétricas y antisimétricas

• Matriz simétrica: $A^T = A$

  Ejemplo: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ es simétrica

• Matriz antisimétrica (o skew-simétrica): $A^T = -A$

  Ejemplo: $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ es antisimétrica (la diagonal es siempre cero)

Traspuesta conjugada (para matrices complejas)

Para matrices complejas, la traspuesta conjugada se denota $A^* = \overline{A}^T = A^{\dagger}$

Por componentes: $(A^*)_{ij} = \overline{A_{ji}}$

Se obtiene trasponiendo y luego conjugando (invirtiendo el signo de la parte imaginaria).

Ejemplo: Si $A = \begin{pmatrix} 1+i & 2-i \\ 3 & 4+2i \end{pmatrix}$, entonces $A^* = \begin{pmatrix} 1-i & 3 \\ 2+i & 4-2i \end{pmatrix}$

Matriz hermítica: Matriz cuadrada $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ donde $A = A^*$. Sus elementos de la diagonal son todos reales.

Submatrices

Una submatriz de $A$ es cualquier matriz que se obtenga eliminando una o varias filas y/o columnas de $A$.

• Submatriz fila ($F_i$): Submatriz resultante de extraer la fila $i$
• Submatriz columna ($C_j$): Submatriz resultante de extraer la columna $j$

Operaciones con matrices

Suma de matrices

La suma de dos matrices $A$ y $B$ del mismo tamaño es la matriz $A+B$ cuya entrada $(i,j)$ es: $[A+B]_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

Es decir, se suman elemento a elemento.

Producto por escalares

El producto de un escalar $\lambda$ por una matriz $A$ es la matriz $\lambda A$ cuya entrada $(i,j)$ es: $[\lambda A]_{ij} = \lambda a_{ij}$

Es decir, se multiplica cada elemento por $\lambda$.

Leyes de la suma de matrices y producto por escalares

Sean $A, B, C \in \mathfrak{M}_{m \times n}(\mathbb{K})$ y $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$:

1. Asociativa: $(A+B)+C = A+(B+C)$
2. Conmutativa: $A+B = B+A$
3. Elemento neutro: $A + 0_{m\times n} = A$
4. Elemento opuesto: $A + (-A) = 0_{m\times n}$
5. Distributiva respecto de la suma de matrices: $\alpha(A+B) = \alpha A + \alpha B$
6. Distributiva respecto de la suma de escalares: $(\alpha + \beta)A = \alpha A + \beta A$
7. Asociativa respecto del producto por escalares: $(\alpha\beta)A = \alpha(\beta A)$
8. Unidad: $1A = A$

Producto de matrices

El producto $AB$ tiene sentido si el número de columnas de $A$ es igual al número de filas de $B$.

Dadas $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ y $B \in \mathbb{K}^{n \times p}$, el producto $AB$ es una matriz de tamaño $m \times p$ cuya entrada $(i,j)$ se calcula como:

$\boxed{[AB]_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}}$

Es decir, se multiplica la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$.

Leyes del producto de matrices

Sean $A \in \mathfrak{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$, $B, C \in \mathfrak{M}_{n\times p}(\mathbb{K})$, $D \in \mathfrak{M}_{p\times q}(\mathbb{K})$ y $\alpha \in \mathbb{K}$:

1. Asociativa: $(AB)D = A(BD)$
2. Elemento neutro por la derecha: $AI_n = A$
3. Elemento neutro por la izquierda: $I_m A = A$
4. Asociativa respecto del producto por escalares: $\alpha(AB) = (\alpha A)B = A(\alpha B)$
5. Distributiva por la derecha: $A(B+C) = AB + AC$
6. Distributiva por la izquierda: $(B+C)D = BD + CD$

El producto de matrices NO es conmutativo

En general, $AB \neq BA$. El orden de los factores importa en el producto de matrices.

Tema 3: Determinantes

Contenido por desarrollar…

Tema 4: Espacios vectoriales

Contenido por desarrollar…

Tema 5: Aplicaciones lineales

Contenido por desarrollar…

Recursos

• Material docente en el aula virtual de la UNED
• Bibliografía recomendada

Estado

✅ Tema 2 (Matrices): Contenido completo con definiciones, operaciones y propiedades 🚧 Resto de temas en desarrollo