Skip to content
Apuntes Matemáticas UNED

Funciones de Una Variable I

Información de la asignatura

Section titled “Información de la asignatura”
  • Tipo: Formación Básica
  • Créditos: 6 ECTS
  • Curso: Primero
  • Semestre: 1

Descripción

Section titled “Descripción”

Introducción al cálculo diferencial e integral de funciones de una variable real.

Temario

Section titled “Temario”

Tema 1: Números reales y sucesiones

Section titled “Tema 1: Números reales y sucesiones”

Estructura de cuerpo en los números reales

Section titled “Estructura de cuerpo en los números reales”

Los números reales R\mathbb{R} con las operaciones de suma y producto forman un cuerpo (R,+,⋅)(\mathbb{R}, +, \cdot).

Propiedades del grupo aditivo (R,+)(\mathbb{R}, +)
Section titled “Propiedades del grupo aditivo (R,+)(\mathbb{R}, +)(R,+)”

Para todo α,β,γ∈R\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}:

  1. Asociativa: (α+β)+γ=α+(β+γ)(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)
  2. Elemento neutro: Existe 0∈R0 \in \mathbb{R} tal que α+0=0+α=α\alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha
  3. Elemento simétrico (opuesto): Para cada α\alpha existe −α-\alpha tal que α+(−α)=(−α)+α=0\alpha + (-\alpha) = (-\alpha) + \alpha = 0
  4. Conmutativa: α+β=β+α\alpha + \beta = \beta + \alpha
Propiedades del grupo multiplicativo (R∖{0},⋅)(\mathbb{R} \setminus \{0\}, \cdot)
Section titled “Propiedades del grupo multiplicativo (R∖{0},⋅)(\mathbb{R} \setminus \{0\}, \cdot)(R∖{0},⋅)”

Para todo α,β,γ∈R∖{0}\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} \setminus \{0\}:

  1. Asociativa: (α⋅β)⋅γ=α⋅(β⋅γ)(\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma = \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)
  2. Elemento neutro: Existe 1∈R1 \in \mathbb{R} tal que α⋅1=1⋅α=α\alpha \cdot 1 = 1 \cdot \alpha = \alpha
  3. Elemento simétrico (inverso): Para cada α≠0\alpha \neq 0 existe α−1\alpha^{-1} tal que α⋅α−1=α−1⋅α=1\alpha \cdot \alpha^{-1} = \alpha^{-1} \cdot \alpha = 1
  4. Conmutativa: α⋅β=β⋅α\alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha
Propiedad distributiva
Section titled “Propiedad distributiva”
  1. Distributiva: Para todo α,β,γ∈R\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}: α⋅(β+γ)=α⋅β+α⋅γ\alpha \cdot (\beta + \gamma) = \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \gamma

Propiedades derivadas de la estructura de cuerpo

Section titled “Propiedades derivadas de la estructura de cuerpo”

De las propiedades anteriores se derivan las siguientes para todo α,β,γ∈R\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}:

  1. Producto con cero: α⋅0=0⋅α=0\alpha \cdot 0 = 0 \cdot \alpha = 0
  2. No hay divisores de cero: Si α⋅β=0\alpha \cdot \beta = 0, entonces α=0\alpha = 0 o β=0\beta = 0
  3. Propiedad cancelativa: Si α⋅β=α⋅γ\alpha \cdot \beta = \alpha \cdot \gamma y α≠0\alpha \neq 0, entonces β=γ\beta = \gamma
  4. Potencias: α⋅α=α2\alpha \cdot \alpha = \alpha^2, y en general α⋅αn−1=αn\alpha \cdot \alpha^{n-1} = \alpha^n
  5. Diferencia de cuadrados: (α+β)(α−β)=α2−β2(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = \alpha^2 - \beta^2
  6. Binomio al cuadrado: (α+β)2=α2+2αβ+β2(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2

Estructura de cuerpo ordenado

Section titled “Estructura de cuerpo ordenado”

Los números reales forman un cuerpo ordenado (R,+,⋅,≤)(\mathbb{R}, +, \cdot, \leq).

Esto significa que además de ser un cuerpo, tiene una relación de orden ≤\leq que es compatible con las operaciones:

  • Si α≤β\alpha \leq \beta y γ≤ρ\gamma \leq \rho, entonces α+γ≤β+ρ\alpha + \gamma \leq \beta + \rho
  • Si 0≤α0 \leq \alpha y 0≤β0 \leq \beta, entonces 0≤α⋅β0 \leq \alpha \cdot \beta

Los números racionales

Section titled “Los números racionales”

Los números racionales Q\mathbb{Q} son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos enteros: Q={pq:p,q∈Z,q≠0}\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} : p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\}

Fracción irreducible
Section titled “Fracción irreducible”

Una fracción pq\frac{p}{q} es irreducible cuando no puede simplificarse más, es decir, cuando: gcd⁡(∣p∣,∣q∣)=1\gcd(|p|, |q|) = 1

El máximo común divisor de ∣p∣|p| y ∣q∣|q| es 1.

Propiedad de densidad (orden denso)
Section titled “Propiedad de densidad (orden denso)”

Los números racionales tienen la importante propiedad de que entre dos racionales cualesquiera siempre existe otro racional:

∀α,β∈Q con α<β,∃γ∈Q tal que α<γ<β\forall \alpha, \beta \in \mathbb{Q} \text{ con } \alpha < \beta, \quad \exists \gamma \in \mathbb{Q} \text{ tal que } \alpha < \gamma < \beta

Esta propiedad también se cumple en R\mathbb{R} y se conoce como densidad.

Tema 2: Límites y continuidad

Section titled “Tema 2: Límites y continuidad”

Contenido por desarrollar…

Tema 3: Derivación

Section titled “Tema 3: Derivación”

Contenido por desarrollar…

Tema 4: Aplicaciones de la derivada

Section titled “Tema 4: Aplicaciones de la derivada”

Contenido por desarrollar…

Tema 5: Integración

Section titled “Tema 5: Integración”

Contenido por desarrollar…

Recursos

Section titled “Recursos”
  • Material docente en el aula virtual de la UNED
  • Bibliografía recomendada

Estado

Section titled “Estado”

✅ Tema 1: Estructura de cuerpo de los números reales y propiedades de números racionales 🚧 Resto de temas en desarrollo