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Apuntes Matemáticas UNED

Conjuntos y Notación

Esta página proporciona una referencia de los conjuntos numéricos fundamentales utilizados en matemáticas y su notación estándar.

Conjuntos numéricos

Section titled “Conjuntos numéricos”

Números naturales

Section titled “Números naturales”

Notación: N\mathbb{N}

Los números naturales son los números que se usan para contar: N={0,1,2,3,4,5,…}\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}

Números enteros

Section titled “Números enteros”

Notación: Z\mathbb{Z}

Los números enteros incluyen los naturales, sus opuestos negativos y el cero: Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}

Números racionales

Section titled “Números racionales”

Notación: Q\mathbb{Q}

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos enteros: Q={pq:p,q∈Z,q≠0}\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} : p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\}

Números reales

Section titled “Números reales”

Notación: R\mathbb{R}

Los números reales incluyen todos los números racionales e irracionales. Representan puntos en la recta numérica.

Notación: R+\mathbb{R}^+ representa el conjunto de números reales positivos.

Números complejos

Section titled “Números complejos”

Notación: C\mathbb{C}

Los números complejos tienen la forma a+bia + bi donde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} y i=−1i = \sqrt{-1}: C={a+bi:a,b∈R}\mathbb{C} = \{a + bi : a, b \in \mathbb{R}\}

Relaciones entre conjuntos numéricos

Section titled “Relaciones entre conjuntos numéricos”

Los conjuntos numéricos forman una jerarquía de contención: N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Esto significa que:

  • Todo número natural es un entero
  • Todo número entero es un racional
  • Todo número racional es un real
  • Todo número real es un complejo

Cuerpos

Section titled “Cuerpos”

Cuerpo base

Section titled “Cuerpo base”

Notación: K\mathbb{K}

El cuerpo base es el conjunto de números sobre el cual están definidos los elementos de vectores o matrices. Es el conjunto al que pertenecen todas las entradas de matrices o vectores, y que permite realizar las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división (excepto por cero).

Ejemplos de cuerpos:

  • K=Q\mathbb{K} = \mathbb{Q} (racionales)
  • K=R\mathbb{K} = \mathbb{R} (reales)
  • K=C\mathbb{K} = \mathbb{C} (complejos)

Conjunto de escalares positivos

Section titled “Conjunto de escalares positivos”

Notación: K+\mathbb{K}^+

Representa el conjunto de escalares positivos del cuerpo K\mathbb{K}.

Conjunto vacío

Section titled “Conjunto vacío”

Notación: ∅\emptyset

El conjunto vacío es el conjunto que no contiene ningún elemento.

Propiedades importantes

Section titled “Propiedades importantes”

Propiedad de orden denso

Section titled “Propiedad de orden denso”

Para los números racionales Q\mathbb{Q} y reales R\mathbb{R}, se cumple: ∀α,β∈Q con α<β, ∃γ∈Q tal que α<γ<β\forall \alpha, \beta \in \mathbb{Q} \text{ con } \alpha < \beta, \ \exists \gamma \in \mathbb{Q} \text{ tal que } \alpha < \gamma < \beta

Es decir, entre dos números racionales (o reales) siempre existe otro número racional (o real). Esta propiedad se conoce como densidad.

Símbolos relacionados

Section titled “Símbolos relacionados”

Para más información sobre símbolos de conjuntos como unión, intersección, etc., consulta la página de Símbolos Matemáticos.